Question

Найдите наименьшее значение функции $y = -\ln(x+5)^9 + 9x$ на отрезке $[-4{,}5; 0]$.

Accepted Answer

-36

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить характер монотонности и вычислить значение функции в точке экстремума.

Вычислим производную:

$$y' = -\frac{9}{x+5} + 9$$

Приравняем её к нулю:

$$-\frac{9}{x+5} + 9 = 0$$

$$\frac{9}{x+5} = 9$$

$$x + 5 = 1$$

$$x = -4$$

Проверим знак производной на интервалах:
- При $x \in [-4{,}5; -4)$: $y' < 0$ (функция убывает)
- При $x \in (-4; 0]$: $y' > 0$ (функция возрастает)

Следовательно, $x = -4$ — точка минимума на данном отрезке.

Вычислим значение функции в этой точке:

$$y(-4) = -\ln(1)^9 + 9 \cdot (-4) = 0 - 36 = -36$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике