Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 3x - \ln(x+10)^3$ на отрезке $[-9{,}5; 0]$.

Accepted Answer

-27

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить, какая из них лежит в заданном промежутке, и вычислить значение функции в этой точке.

Вычислим производную:

$$y' = 3 - \frac{3}{(x+10)^2}$$

Приравняем её к нулю:

$$3 - \frac{3}{(x+10)^2} = 0$$

$$\frac{3}{(x+10)^2} = 3$$

$$(x+10)^2 = 1$$

$$x + 10 = \pm 1$$

Получаем два корня: $x_1 = -11$ и $x_2 = -9$.

Точка $x_1 = -11$ не принадлежит отрезку $[-9{,}5; 0]$.

Точка $x_2 = -9$ лежит внутри промежутка.

Из диаграммы знаков производной видно, что при переходе через $x = -9$ производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.

Вычислим значение функции в точке $x = -9$:

$$y(-9) = 3 \cdot (-9) - \ln((-9+10)^3) = -27 - \ln 1 = -27 - 0 = -27$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике