Question

Найдите точку максимума функции $y = x^3 + 16x^2 + 64x + 12$.

Accepted Answer

-8

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную: $$y' = 3x^2 + 32x + 64$$ Приравняем её к нулю: $$3x^2 + 32x + 64 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = 32^2 - 4 \cdot 3 \cdot 64 = 1024 - 768 = 256$$ Корни уравнения: $$x = \frac{-32 \pm 16}{6}$$ $$x_1 = \frac{-32 + 16}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}, \quad x_2 = \frac{-32 - 16}{6} = \frac{-48}{6} = -8$$ Применим метод интервалов для анализа знака производной. На числовой оси отметим критические точки $x = -8$ и $x = -\frac{8}{3}$: - При $x < -8$: $y' > 0$ (функция возрастает) - При $-8 < x < -\frac{8}{3}$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $x > -\frac{8}{3}$: $y' > 0$ (функция возрастает) Следовательно, $x = -8$ — точка максимума, а $x = -\frac{8}{3}$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике