Question

Найдите точку максимума функции $y = x^3 + 10x^2 + 25x + 16$.

Accepted Answer

-5

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную: $$y' = 3x^2 + 20x + 25$$ Приравняем её к нулю: $$3x^2 + 20x + 25 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = 400 - 4 \cdot 3 \cdot 25 = 100$$ Корни уравнения: $$x_{1,2} = \frac{-20 \pm 10}{6}$$ $$x_1 = -5, \quad x_2 = -\frac{5}{3}$$ Применим метод интервалов для анализа знака производной. На числовой оси отметим критические точки $-5$ и $-\frac{5}{3}$: - При $x < -5$: $y' > 0$ (функция возрастает) - При $-5 < x < -\frac{5}{3}$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $x > -\frac{5}{3}$: $y' > 0$ (функция возрастает) Следовательно, $x = -5$ — точка максимума, а $x = -\frac{5}{3}$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике