Question

Строительство нового завода обходится в 78 млн рублей. Годовые затраты на выпуск $x$ тыс. единиц продукции составляют $(0{,}5x^2 + 2x + 6)$ млн рублей. Годовая прибыль фирмы (в млн рублей) при цене $p$ тыс. рублей за единицу равна $px - (0{,}5x^2 + 2x + 6)$. После постройки завода фирма ежегодно выпускает объём, максимизирующий прибыль. Найти наименьшее значение $p$, при котором инвестиция окупится за 3 года или менее.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить условие на прибыль за три года, свести его к неравенству относительно $p$ через дискриминант и найти минимальное значение цены.

Для окупаемости завода за 3 года требуется, чтобы суммарная прибыль за три года была не менее 78 млн рублей:

$$3\left(px - (0{,}5x^2 + 2x + 6)ight) \geq 78$$

Разделим на 3:

$$px - 0{,}5x^2 - 2x - 6 \geq 26$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$px - 0{,}5x^2 - 2x - 32 \geq 0$$

Умножим на $-2$ (знак неравенства меняется):

$$x^2 + 2(2 - p)x + 64 \leq 0$$

Это неравенство должно иметь решение относительно $x$. Для этого дискриминант квадратного трёхчлена должен быть неотрицательным:

$$D = 4(2 - p)^2 - 4 \cdot 64 \geq 0$$

$$4(2 - p)^2 - 256 \geq 0$$

$$(2 - p)^2 \geq 64$$

$$|2 - p| \geq 8$$

Отсюда получаем два случая:

$$2 - p \geq 8 \quad 	ext{или} \quad 2 - p \leq -8$$

$$p \leq -6 \quad 	ext{или} \quad p \geq 10$$

Поскольку цена не может быть отрицательной, остаётся $p \geq 10$.

Наименьшее значение $p$ равно 10.

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике