Question

а) Решите уравнение: $2\sin^3 x = \sqrt{2}\cos^2 x + 2\sin x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать уравнение, используя основное тригонометрическое тождество, затем разложить на множители и решить совокупность простейших уравнений.

**а) Решение уравнения**

Применим тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ и перепишем исходное уравнение:

$$2\sin x(1 - \cos^2 x) = \sqrt{2}\cos^2 x + 2\sin x$$

Раскроем скобки:

$$2\sin x - 2\sin x \cos^2 x = \sqrt{2}\cos^2 x + 2\sin x$$

Перенесём все в левую часть:

$$2\sin x - 2\sin x \cos^2 x - \sqrt{2}\cos^2 x - 2\sin x = 0$$

Упростим:

$$-2\sin x \cos^2 x - \sqrt{2}\cos^2 x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos^2 x(-2\sin x - \sqrt{2}) = 0$$

Получаем совокупность:

$$\cos^2 x = 0 \quad 	ext{или} \quad -2\sin x - \sqrt{2} = 0$$

Из первого условия:

$$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Из второго условия:

$$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Это даёт:

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

или

$$x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на промежутке**

Используя числовую окружность, отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}ight]$.

Из семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
- При $k = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$ ✓
- При $k = -4$: $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$ ✓

Из семейства $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
- При $n = -2$: $x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4}$ (не входит в промежуток)

Из семейства $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m$:
- При $m = -1$: $x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$ ✓

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/ZgMa1ruqYH5ySGw5TZYfJlvAJ887X0LhVOuOTJJ4.png)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике