Question

В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$ . На прямой $AA_1$ отмечена точка $M$ так, что точка $A_1$ — середина отрезка $AM$ . На прямой $B_1C_1$ отмечена точка $L$ так, что $C_1$ — середина отрезка $B_1L$ .

а) Докажите, что прямые $AB$ и $ML$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $ML$ , если $AB = 5$ , $AA_1 = 2$ .

а) Докажите, что прямые $AB$ и $ML$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $ML$, если $AB = 5$, $AA_1 = 2$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить перпендикулярность через проекцию на верхнее основание, а затем использовать перпендикулярность прямой к плоскости для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.

**а) Доказательство перпендикулярности**

Рассмотрим треугольник $A_1B_1L$. Поскольку $C_1$ — середина $B_1L$, отрезок $A_1C_1$ является медианой этого треугольника. При этом $A_1C_1 = LC_1 = B_1C_1$ (так как призма правильная, все стороны верхнего основания равны).

Когда медиана треугольника равна половине противоположной стороны, треугольник прямоугольный. Следовательно, $\angle LA_1B_1 = 90°$.

Отрезок $A_1L$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно этой плоскости, поэтому $A_1L \perp AA_1$. Значит, $A_1L$ — проекция наклонной $ML$ на плоскость $A_1B_1C_1$.

По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой в плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $A_1B_1 \perp ML$.

Поскольку $AB \parallel A_1B_1$ (боковые грани призмы — параллелограммы), получаем $AB \perp ML$.

**б) Вычисление расстояния**

Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $ALM$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости: $AB \perp ML$ и $AB \perp AA_1$ (боковое ребро перпендикулярно основанию).

Высота $AH$ треугольника $ALM$, опущенная из вершины $A$ на сторону $ML$, является общим перпендикуляром скрещивающихся прямых $AB$ и $ML$. Её длина равна искомому расстоянию.

Найдём необходимые длины. В прямоугольном треугольнике $A_1B_1L$ с прямым углом при $A_1$:
- $A_1B_1 = 5$ (сторона правильного треугольника);
- $B_1L = 2 \cdot B_1C_1 = 2 \cdot 5 = 10$ (так как $C_1$ — середина $B_1L$).

По теореме Пифагора:

$$A_1L = \sqrt{B_1L^2 - A_1B_1^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$

Так как $A_1$ — середина $AM$, имеем $MA_1 = AA_1 = 2$, откуда $AM = 4$.

В прямоугольном треугольнике $A_1ML$ (прямой угол при $A_1$, так как $A_1L \perp AA_1$):

$$ML = \sqrt{MA_1^2 + A_1L^2} = \sqrt{4 + 75} = \sqrt{79}$$

Площадь треугольника $ALM$ можно вычислить двумя способами:

$$S_{ALM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot A_1L = \frac{1}{2} \cdot ML \cdot AH$$

Отсюда:

$$AH = \frac{AM \cdot A_1L}{ML} = \frac{4 \cdot 5\sqrt{3}}{\sqrt{79}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{79}} = \frac{20\sqrt{3} \cdot \sqrt{79}}{79} = \frac{20\sqrt{237}}{79}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/tIovcPEQ1VuYewt3wtyjAvdXwTLljonr84SMKL5k.jpg)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике