Question

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sin^2 x = \frac{3}{4}$.

б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку $[\pi; 2{,}5\pi]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу двойного угла для косинуса, свести уравнение к квадратному относительно $\cos x$, затем отобрать корни из заданного промежутка.

**а)** Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$$1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x = \frac{3}{4}$$

$$1 - \sin^2 x = \frac{3}{4}$$

$$\cos^2 x = \frac{3}{4}$$

Отсюда получаем два случая:

$$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad 	ext{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Для первого случая:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Для второго случая:

$$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отберём корни из отрезка $[\pi; 2{,}5\pi]$:

1) $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$

2) $x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

3) $x = 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$

Задание №13УравненияЕГЭ по математике