Question

Найдите наибольшее значение функции $y = 12 + 9x - 2x\sqrt{x}$ на отрезке $[3; 21]$.

Accepted Answer

39

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, затем сравнить значения функции в критической точке и на концах отрезка.

Вычислим производную:

$$y' = 9 - 3\sqrt{x}$$

Приравняем производную к нулю:

$$9 - 3\sqrt{x} = 0$$

$$\sqrt{x} = 3$$

$$x = 9$$

Точка $x = 9$ принадлежит отрезку $[3; 21]$, поэтому вычислим значение функции в этой точке и на концах.

При $x = 9$:

$$y(9) = 12 + 9 \cdot 9 - 2 \cdot 9 \cdot 3 = 12 + 81 - 54 = 39$$

При $x = 3$:

$$y(3) = 12 + 27 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 39 - 6\sqrt{3} \approx 28{,}6$$

При $x = 21$:

$$y(21) = 12 + 189 - 2 \cdot 21 \cdot \sqrt{21} = 201 - 42\sqrt{21} \approx 8{,}5$$

Наибольшее значение равно 39.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике