Question

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на целое число лет. Условия возврата:
- каждый январь долг увеличивается на 10% от остатка на конец предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года выплачивается часть долга;
- в июле каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если общая сумма всех выплат составит 15 млн рублей?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить таблицу платежей, заметив, что долг в июле каждого года образует арифметическую прогрессию, а затем найти сумму всех выплат через среднее арифметическое.

Обозначим $S = 10$ млн рублей (начальный долг), $r = 10\%$, $n$ — количество лет.

Поскольку долг в июле каждого года уменьшается на одну и ту же величину, ежегодное снижение составляет $\frac{S}{n}$.

Проследим динамику по годам:

**Год 1:**
- Долг в июле предыдущего года: $S$
- После увеличения в январе: $S + \frac{Sr}{100}$
- Выплата: $\frac{Sr}{100} + \frac{S}{n}$
- Долг в июле: $S - \frac{S}{n}$

**Год 2:**
- Долг в июле предыдущего года: $S - \frac{S}{n}$
- После увеличения в январе: $\left(S - \frac{S}{n}\right) + \left(S - \frac{S}{n}\right) \cdot \frac{r}{100}$
- Выплата: $\left(S - \frac{S}{n}\right) \cdot \frac{r}{100} + \frac{S}{n}$
- Долг в июле: $S - 2\frac{S}{n}$

**Год $n$:**
- Долг в июле предыдущего года: $\frac{S}{n}$
- После увеличения в январе: $\frac{S}{n} + \frac{S}{n} \cdot \frac{r}{100}$
- Выплата: $\frac{S}{n} \cdot \frac{r}{100} + \frac{S}{n}$
- Долг в июле: $0$

Общая сумма выплат равна сумме процентов и основного долга. Проценты начисляются на долги, образующие арифметическую прогрессию: $S, S - \frac{S}{n}, S - 2\frac{S}{n}, \ldots, \frac{S}{n}$.

Среднее значение долга в течение всех лет:

$$\frac{S + \frac{S}{n}}{2}$$

Общая сумма выплат:

$$S + \frac{r}{100} \cdot \frac{S + \frac{S}{n}}{2} \cdot n = 15$$

Подставим $S = 10$ и $r = 10$:

$$10 + \frac{10}{100} \cdot \frac{10 + \frac{10}{n}}{2} \cdot n = 15$$

$$10 + \frac{1}{10} \cdot \frac{10 + \frac{10}{n}}{2} \cdot n = 15$$

$$10 + \frac{1}{20}\left(10 + \frac{10}{n}\right) \cdot n = 15$$

$$10 + \frac{1}{20}\left(10n + 10\right) = 15$$

$$10 + \frac{10(n + 1)}{20} = 15$$

$$10 + \frac{n + 1}{2} = 15$$

$$\frac{n + 1}{2} = 5$$

$$n + 1 = 10$$

$$n = 9$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике