Question

Из пары натуральных чисел $(a, b)$, где $a > b$, за один ход получают пару $(a+b, a-b)$.

а) Можно ли из пары $(150, 7)$ за несколько ходов получить пару, в которой наибольшее число равно 600?

б) Можно ли из пары $(150, 7)$ за несколько ходов получить пару $(1224, 1190)$?

в) Какое наименьшее значение $a$ должно быть в паре, из которой можно получить пару $(1224, 1190)$?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: проанализировать, как изменяются числа в паре при применении операции, и использовать инвариантные свойства (делимость, кратность).

**а)**

Из пары $(a, b)$ с условием $a > b$ переходим к паре $(a+b, a-b)$. Поскольку оба числа натуральны, имеем $a+b > a-b$.

Применим операцию дважды подряд:
- Первый ход: $(a, b) 	o (a+b, a-b)$
- Второй ход: $(a+b, a-b) 	o (2a, 2b)$

Таким образом, за два хода оба компонента пары удваиваются.

Начиная с $(150, 7)$:
- После 2 ходов: $(300, 14)$
- После 4 ходов: $(600, 28)$

Наибольшее число в полученной паре равно 600.

**б)**

Из пары $(150, 7)$ первый ход даёт $(157, 143)$.

Дальнейшие пары имеют вид либо $(150 \cdot 2^k, 7 \cdot 2^k)$, либо $(157 \cdot 2^k, 143 \cdot 2^k)$ для натуральных $k$.

Проверим делимость на 17:
- $150 = 8 \cdot 17 + 14$ (не кратно 17)
- $7$ (не кратно 17)
- $157 = 9 \cdot 17 + 4$ (не кратно 17)
- $143 = 8 \cdot 17 + 7$ (не кратно 17)

Число 1190 кратно 17: $1190 = 70 \cdot 17$.

Поскольку ни одно из чисел $150, 7, 157, 143$ не делится на 17, их произведения на степени двойки также не будут кратны 17. Следовательно, получить пару $(1224, 1190)$ невозможно.

**в)**

Если пара $(a, b)$ переходит в пару $(1224, 1190)$ за один ход, то:

$$a + b = 1224$$
$$a - b = 1190$$

Решая систему:

$$a = \frac{1224 + 1190}{2} = \frac{2414}{2} = 1207$$
$$b = \frac{1224 - 1190}{2} = \frac{34}{2} = 17$$

Пара $(1207, 17)$ не получается удвоением никакой пары (так как 1207 нечётно).

Пара $(1224, 1190)$ получается удвоением пары $(612, 595)$:
- $1224 = 2 \cdot 612$
- $1190 = 2 \cdot 595$

Пара $(612, 595)$ не делится на 2 (оба числа нечётны), поэтому это минимальная пара, из которой можно получить $(1224, 1190)$.

Наименьшее значение $a$ равно 612.

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике