Question

На рисунке представлен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определённой на интервале $(−12;11)$ . Определите количество точек максимума функции $f(x)$ , лежащих на отрезке $[−11;5]$ .

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/x66oCWtT97YiOcz5JmRQcW8iwDPhC4uakBnYu0hz.png)

Accepted Answer

4

Answer

Идея решения: найти нули производной на заданном отрезке, а затем выделить те из них, где производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Экстремальные точки функции $f(x)$ соответствуют нулям производной. На отрезке $[−11;5]$ график $y=f'(x)$ пересекает ось абсцисс в следующих точках:

$$x = -10; \quad x = -7; \quad x = -3{,}5; \quad x = -2{,}5; \quad x = -1; \quad x = 3{,}5; \quad x = 4{,}5$$

Точка максимума функции $f(x)$ возникает в тех местах, где производная переходит от положительных значений к отрицательным (знак меняется с $+$ на $-$).

Проанализировав поведение графика:
- при $x = -10$: производная меняет знак с $+$ на $-$ — **максимум**;
- при $x = -7$: производная меняет знак с $-$ на $+$ — минимум;
- при $x = -3{,}5$: производная меняет знак с $+$ на $-$ — **максимум**;
- при $x = -2{,}5$: производная меняет знак с $-$ на $+$ — минимум;
- при $x = -1$: производная меняет знак с $+$ на $-$ — **максимум**;
- при $x = 3{,}5$: производная меняет знак с $-$ на $+$ — минимум;
- при $x = 4{,}5$: производная меняет знак с $+$ на $-$ — **максимум**.

Таким образом, на отрезке $[−11;5]$ функция имеет четыре точки максимума: $x_1 = -10$, $x_2 = -3{,}5$, $x_3 = -1$, $x_4 = 4{,}5$.

Задание №8Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике