Question

а) Решите уравнение $2\sin x+2\sqrt{3}\sin(-x)-4\cos^{2}x=\sqrt{3}-4$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить уравнение, используя свойства синуса и косинуса, затем разложить на множители и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений.

**а) Решение уравнения**

Применим свойство $\sin(-x) = -\sin x$ и заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$$2\sin x - 2\sqrt{3}\sin x - 4(1 - \sin^2 x) = \sqrt{3} - 4$$

Раскроем скобки и упростим:

$$2\sin x - 2\sqrt{3}\sin x - 4 + 4\sin^2 x - \sqrt{3} + 4 = 0$$

$$4\sin^2 x + 2\sin x - 2\sqrt{3}\sin x - \sqrt{3} = 0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2\sin x(2\sin x + 1) - \sqrt{3}(2\sin x + 1) = 0$$

$$(2\sin x + 1)(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$$

Получаем совокупность:

$$\sin x = -\frac{1}{2} \quad 	ext{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Для $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Для $\sin x = -\frac{1}{2}$:

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}ight]$**

Используя тригонометрическую окружность, найдём значения, попадающие в указанный промежуток.

Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.

Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$.

Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 2$ получаем $x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$; при $k = 1$ получаем $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$ (не входит в отрезок).

Для $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = 2$ получаем $x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$.

Проверим принадлежность отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}ight] = \left[\frac{12\pi}{6};\frac{21\pi}{6}ight]$:

- $\frac{7\pi}{3} = \frac{14\pi}{6}$ ✓
- $\frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{6}$ ✓
- $\frac{19\pi}{6}$ ✓
- $\frac{23\pi}{6}$ (не входит, так как $\frac{23\pi}{6} > \frac{21\pi}{6}$)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/eM8snTvU0eFHHOqYmzryFdGRU3wQKv8PtKt2Ny4b.jpg)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике