Question

Найдите наибольшее значение функции $y = 99x - 97\sin x + 62$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.

Accepted Answer

62

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, установить монотонность функции и вычислить её значение в граничной точке.

Вычислим производную:

$$y' = 99 - 97\cos x$$

Приравняем производную к нулю:

$$99 - 97\cos x = 0$$

$$\cos x = \frac{99}{97}$$

Поскольку $\frac{99}{97} > 1$, а область значений косинуса — это $[-1; 1]$, уравнение решений не имеет.

Так как $\cos x \leq 1$ для всех $x$, имеем $y' = 99 - 97\cos x \geq 99 - 97 = 2 > 0$. Производная всегда положительна, поэтому функция строго возрастает на всём отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.

Максимум возрастающей функции на отрезке достигается в правом конце:

$$y(0) = 99 \cdot 0 - 97 \cdot \sin 0 + 62 = 62$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике