Question

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419375 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить уравнение для остатка долга после четырёх лет, используя формулу суммы геометрической прогрессии.

Обозначим $S = 419375$ рублей (первоначальная сумма кредита) и $x$ — размер каждого платежа.

Коэффициент увеличения долга: $1 + \frac{20}{100} = 1{,}2$.

Проследим изменение долга по годам:

| Год | Долг после начисления процентов | Долг после выплаты |
|-----|----------------------------------|-------------------|
| 2021 | $1{,}2S$ | $1{,}2S - x$ |
| 2022 | $(1{,}2S - x) \cdot 1{,}2$ | $(1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x$ |
| 2023 | $((1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x) \cdot 1{,}2$ | $((1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x) \cdot 1{,}2 - x$ |
| 2024 | $(((1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x) \cdot 1{,}2 - x) \cdot 1{,}2$ | $(((1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x) \cdot 1{,}2 - x) \cdot 1{,}2 - x$ |

После четвёртой выплаты долг полностью погашен:

$$(((1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x) \cdot 1{,}2 - x) \cdot 1{,}2 - x = 0$$

Раскроем скобки:

$$1{,}2^4 S - 1{,}2^3 x - 1{,}2^2 x - 1{,}2x - x = 0$$

$$1{,}2^4 S - x(1{,}2^3 + 1{,}2^2 + 1{,}2 + 1) = 0$$

Сумма в скобках — это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 1$, знаменателем $q = 1{,}2$ и количеством членов $n = 4$:

$$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{1 \cdot (1 - 1{,}2^4)}{1 - 1{,}2} = \frac{1 - 1{,}2^4}{-0{,}2}$$

Вычислим $1{,}2^4 = 2{,}0736$:

$$S_n = \frac{1 - 2{,}0736}{-0{,}2} = \frac{-1{,}0736}{-0{,}2} = 5{,}368$$

Подставим в уравнение:

$$2{,}0736 \cdot S - 5{,}368 \cdot x = 0$$

$$x = \frac{2{,}0736 \cdot S}{5{,}368} = \frac{2{,}0736 \cdot 419375}{5{,}368} = 162000$$

Общая сумма выплат за четыре года:

$$4 \cdot x = 4 \cdot 162000 = 648000$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике