Question

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC = 3:1$, причём $AB = 2$ и $SO = \sqrt{14}$.

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить сечение плоскостью $OMK$, найти точки пересечения с рёбрами пирамиды и показать, что одна из сторон сечения параллельна $SA$.

**а) Доказательство параллельности**

Соединим точку $O$ с точкой $K$ и продлим эту линию до пересечения с прямой $AD$, получив точку $N$.

Продлим $DC$ и $NK$ до пересечения в плоскости основания, получив точку $P$.

Продлим прямую $PM$ до пересечения с ребром $SD$, получив точку $E$. Соединим $E$ и $N$.

Рассмотрим плоскость основания $ABC$. Пусть $KC = x$, тогда $BK = 3x$ и $BC = 4x = 2$, откуда $x = 0{,}5$. Следовательно, $BK = 1{,}5$ и $KC = 0{,}5$.

В треугольниках $PCK$ и $PDN$: угол $\angle DPN$ общий, $\angle PCK = \angle PDN = 90°$. По признаку подобия треугольников:

$$\frac{KC}{DN} = \frac{CP}{DP} = \frac{PK}{PN}$$

Так как $AO = OC$ (половины диагонали квадрата), $\angle NOA = \angle COK$ (вертикальные углы) и $\angle OAN = \angle OCK$ (накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$), треугольники $NOA$ и $KOC$ равны. Поэтому $NA = CK = 0{,}5$, откуда $DN = 2 - 0{,}5 = 1{,}5$ и $\frac{AN}{ND} = \frac{1}{3}$.

Рассмотрим плоскость $DSC$. Из подобия получаем:

$$\frac{KC}{DN} = \frac{CP}{DP} = \frac{0{,}5}{1{,}5} = \frac{1}{3}$$

Пусть $CP = y$, тогда $DP = 3y$. Так как $DC = 2$, имеем $2y = 2$, откуда $CP = 1$ и $DP = 3$.

По теореме Менелая для треугольника $DSC$ и прямой $PME$:

$$\frac{SM}{MC} \cdot \frac{CP}{DP} \cdot \frac{DE}{ES} = 1$$

$$1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{DE}{ES} = 1$$

$$DE : ES = 3 : 1$$

Так как $\frac{DE}{ES} = \frac{3}{1}$ и $\frac{ND}{AN} = \frac{3}{1}$, прямые $EN$ и $AS$ параллельны. Следовательно, плоскость $NEM$ (совпадающая с плоскостью $OMK$) параллельна прямой $SA$. ✓

**б) Длина отрезка пересечения**

По теореме Пифагора в треугольнике $ASO$:

$$AO = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

$$AS^2 = SO^2 + AO^2 = 14 + 2 = 16$$

$$AS = 4$$

Так как $\frac{ED}{SD} = \frac{ND}{AD} = \frac{3}{4}$ и $\angle SDA$ общий, треугольники $EDN$ и $SDA$ подобны с коэффициентом $\frac{3}{4}$:

$$EN = \frac{3}{4} \cdot SA = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике