Question

Теплоход преодолевает 48 км по течению реки до конечного пункта, затем останавливается на 5 часов и возвращается обратно. Скорость течения составляет 4 км/ч. Общее время в пути (включая стоянку) равно 10 часам. Определите собственную скорость теплохода. Ответ выразите в км/ч.

Accepted Answer

20

Answer

Идея решения: обозначить собственную скорость теплохода переменной и составить уравнение на основе соотношения между временем движения туда, обратно и общим временем.

Обозначим собственную скорость теплохода как $x$ км/ч.

При движении по течению скорость составляет $x + 4$ км/ч, против течения — $x - 4$ км/ч.

Время в пути по течению:

$$t_1 = \frac{48}{x+4}$$

Время в пути против течения:

$$t_2 = \frac{48}{x-4}$$

Общее время складывается из времени движения туда, времени стоянки и времени движения обратно:

$$\frac{48}{x+4} + \frac{48}{x-4} + 5 = 10$$

Упростим:

$$\frac{48}{x+4} + \frac{48}{x-4} = 5$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{48(x-4) + 48(x+4)}{(x+4)(x-4)} = 5$$

$$\frac{48x - 192 + 48x + 192}{x^2 - 16} = 5$$

$$\frac{96x}{x^2 - 16} = 5$$

$$96x = 5(x^2 - 16)$$

$$96x = 5x^2 - 80$$

$$5x^2 - 96x - 80 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{96 \pm \sqrt{9216 + 1600}}{10} = \frac{96 \pm \sqrt{10816}}{10} = \frac{96 \pm 104}{10}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{96 + 104}{10} = \frac{200}{10} = 20$$

$$x_2 = \frac{96 - 104}{10} = \frac{-8}{10} = -0{,}8$$

Так как скорость должна быть положительной и больше скорости течения (чтобы теплоход мог двигаться против течения), подходит только $x = 20$ км/ч.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике