Question

Решите неравенство:

$$\frac{2^x}{2^x - 8} + \frac{2^x + 8}{2^x - 4} + \frac{66}{4^x - 12 \cdot 2^x + 32} \leq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = 2^x$, приведём дроби к общему знаменателю и упростим числитель до произведения множителей.

Обозначим $t = 2^x$, где $t > 0$. Неравенство принимает вид:

$$\frac{t}{t - 8} + \frac{t + 8}{t - 4} + \frac{66}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0$$

Приведём к общему знаменателю $(t - 8)(t - 4)$:

$$\frac{t(t - 4) + (t + 8)(t - 8) + 66}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$t(t - 4) + (t + 8)(t - 8) + 66 = t^2 - 4t + t^2 - 64 + 66 = 2t^2 - 4t + 2$$

Вынесем общий множитель:

$$2t^2 - 4t + 2 = 2(t^2 - 2t + 1) = 2(t - 1)^2$$

Неравенство становится:

$$\frac{2(t - 1)^2}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0$$

Или эквивалентно:

$$\frac{(t - 1)^2}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0$$

Числитель $(t - 1)^2 \geq 0$ при всех $t$. Равенство нулю достигается при $t = 1$.

Дробь неположительна, когда числитель равен нулю или когда знаменатель отрицателен. Знаменатель отрицателен при $4 < t < 8$.

Таким образом: $t = 1$ или $4 < t < 8$.

Возвращаясь к переменной $x$:

$$2^x = 1 \quad 	ext{или} \quad 4 < 2^x < 8$$

$$x = 0 \quad 	ext{или} \quad 2 < x < 3$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике