Question

Зависимость количества $Q$ (в шт., $0 \leq Q \leq 20000$) приобретаемого у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) задаётся формулой $Q = 20000 - P$. Производственные затраты на выпуск $Q$ единиц составляют $6000Q + 4000000$ рублей. Помимо производственных затрат фирма уплачивает налог $t$ рублей ($0 < t < 10000$) за каждую произведённую единицу. Прибыль фирмы равна $PQ - 6000Q - 4000000 - tQ$ рублей, а налоговые поступления государства составляют $tQ$ рублей. Фирма выбирает объём производства, максимизирующий её прибыль. При каком значении $t$ налоговые поступления будут наибольшими?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: выразить прибыль через объём $Q$, найти оптимальный объём как функцию налога $t$, затем максимизировать налоговые поступления.

Запишем прибыль через переменную $Q$:

$$f(Q) = PQ - 6000Q - 4000000 - tQ$$

Подставим $P = 20000 - Q$:

$$f(Q) = (20000 - Q)Q - 6000Q - 4000000 - tQ$$

$$f(Q) = 20000Q - Q^2 - 6000Q - 4000000 - tQ$$

$$f(Q) = -Q^2 + (14000 - t)Q - 4000000$$

Это парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум прибыли достигается в вершине:

$$Q_{	ext{опт}} = -\frac{14000 - t}{2 \cdot (-1)} = \frac{14000 - t}{2}$$

Найдём налоговые поступления как функцию $t$:

$$T(t) = t \cdot Q_{	ext{опт}} = t \cdot \frac{14000 - t}{2} = \frac{14000t - t^2}{2}$$

Это также парабола с ветвями вниз. Её максимум:

$$t_{	ext{опт}} = -\frac{14000}{2 \cdot (-1)} = 7000$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике