Question

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BD = DE = 4$.

а) Докажите, что $AC = CE$.

б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать равенство хорд для установления параллельности сторон, что приводит к образованию равнобедренных трапеций и параллелограмма.

**а) Доказательство равенства $AC = CE$**

В четырёхугольнике $ABCD$ углы $\angle ACB$ и $\angle CAD$ — острые углы, опирающиеся на равные хорды $AB$ и $CD$ соответственно. Поскольку равные хорды стягивают равные углы, имеем:

$$\angle ACB = \angle CAD$$

Это означает, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны (накрест лежащие углы равны).

Аналогично, рассматривая четырёхугольник $BCDE$, углы, опирающиеся на равные хорды $CD$ и $BE$, дают нам $BC \parallel DE$. Следовательно, прямые $CD$ и $BE$ также параллельны.

Таким образом, четырёхугольники $ABCD$ и $BCDE$ являются равнобедренными трапециями. В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому:

$$AC = BD = 4 \quad 	ext{и} \quad CE = BD = 4$$

Следовательно, $AC = CE$.

**б) Нахождение длины диагонали $BE$**

Обозначим точку пересечения диагоналей $AD$ и $BE$ через $M$. Поскольку $BC \parallel AD$ и $CD \parallel BE$, четырёхугольник $BCDM$ имеет противоположные стороны параллельными, то есть является параллелограммом.

В параллелограмме противоположные стороны равны:

$$BM = CD = 3, \quad DM = BC = DE = 4$$

Треугольники $ABM$ и $MDE$ равнобедренные (так как $AB = BM = 3$ и $DE = DM = 4$). Углы при основании в этих треугольниках совпадают:

$$\angle BAM = \angle AMB = \angle DME = \angle DEM$$

Следовательно, треугольники $ABM$ и $MDE$ подобны с коэффициентом подобия:

$$k = \frac{DE}{AB} = \frac{4}{3}$$

Из подобия получаем:

$$ME = k \cdot AM = \frac{4}{3} \cdot (AD - DM) = \frac{4}{3} \cdot (6 - 4) = \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3}$$

Таким образом:

$$BE = BM + ME = 3 + \frac{8}{3} = \frac{9 + 8}{3} = \frac{17}{3}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике