Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$\sqrt{1-2x}\ln(25x^{2}-a^{2})-\sqrt{1-2x}\ln(5x-a)=0$$
имеет ровно один корень.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: вынести общий множитель, разобрать два случая (обнуление множителя и равенство логарифмов) с учётом ограничений, затем определить, при каких $a$ получается ровно один корень. Исходное уравнение переписывается в виде: $$\sqrt{1-2x}\cdot\left(\ln(25x^{2}-a^{2})-\ln(5x-a) ight)=0$$ **Случай 1:** $\sqrt{1-2x}=0$ Из условия $\sqrt{1-2x}=0$ получаем $x=\frac{1}{2}$. Проверим, при каких $a$ это значение удовлетворяет ограничениям логарифмов: $$\begin{cases} 25x^{2}-a^{2}>0 \ 5x-a>0 \end{cases}$$ Подставляя $x=\frac{1}{2}$: $$\begin{cases} \frac{25}{4}-a^{2}>0 \ \frac{5}{2}-a>0 \end{cases}$$ Это даёт $-\frac{5}{2}0 \ 1-2x\geq 0 \end{cases}$$ Подставляя $x=\frac{1-a}{5}$: $$\begin{cases} \frac{1-a}{5}-a>0 \implies 1-6a>0 \implies a<\frac{1}{6} \ 1-\frac{2(1-a)}{5}\geq 0 \implies \frac{3+2a}{5}\geq 0 \implies a\geq -\frac{3}{2} \end{cases}$$ Таким образом, $x=\frac{1-a}{5}$ — корень при $-\frac{3}{2}\leq a<\frac{1}{6}$. **Анализ совпадения корней** Корни $x=\frac{1}{2}$ и $x=\frac{1-a}{5}$ совпадают при: $$\frac{1}{2}=\frac{1-a}{5} \implies a=-\frac{3}{2}$$ **Подсчёт количества корней** - При $a\leq -\frac{5}{2}$: нет корней. - При $-\frac{5}{2}

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике