Question

Вычислите $4\log_{1{,}25}5 \cdot \log_{5}0{,}8$.

Accepted Answer

-4

Answer

Идея решения: преобразовать основания логарифмов к удобному виду и применить формулу замены основания.

Представим числа в виде дробей:

$$1{,}25 = \frac{5}{4}, \quad 0{,}8 = \frac{4}{5}$$

Подставим в исходное выражение:

$$4\log_{\frac{5}{4}}5 \cdot \log_{5}\frac{4}{5}$$

Заметим, что $\log_{\frac{5}{4}}5 = -\log_{\frac{4}{5}}5$ (так как $\frac{5}{4}$ и $\frac{4}{5}$ — взаимно обратные числа). Тогда:

$$-4\log_{\frac{4}{5}}5 \cdot \log_{5}\frac{4}{5}$$

Применим формулу замены основания: $\log_{\frac{4}{5}}5 = \frac{1}{\log_{5}\frac{4}{5}}$.

$$-4 \cdot \frac{1}{\log_{5}\frac{4}{5}} \cdot \log_{5}\frac{4}{5} = -4$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике