Question

а) Решите уравнение $27^{x} - 4 \cdot 3^{x+2} + 3^{5-x} = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_{7}4; \log_{7}16]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: свести уравнение к степеням одного основания, применить замену переменной и решить полученное биквадратное уравнение. **а)** Преобразуем левую часть, выразив все через степени тройки: $$27^{x} = (3^{3})^{x} = 3^{3x}$$ $$4 \cdot 3^{x+2} = 4 \cdot 3^{x} \cdot 3^{2} = 36 \cdot 3^{x}$$ $$3^{5-x} = \frac{3^{5}}{3^{x}} = \frac{243}{3^{x}}$$ Уравнение принимает вид: $$3^{3x} - 36 \cdot 3^{x} + \frac{243}{3^{x}} = 0$$ Обозначим $t = 3^{x}$, где $t > 0$: $$t^{3} - 36t + \frac{243}{t} = 0$$ Умножим на $t$: $$t^{4} - 36t^{2} + 243 = 0$$ Введём вторую замену $y = t^{2}$: $$y^{2} - 36y + 243 = 0$$ По формуле корней квадратного уравнения: $$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 972}}{2} = \frac{36 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{36 \pm 18}{2}$$ $$y_{1} = 27, \quad y_{2} = 9$$ Возвращаемся к переменной $t$: $$t^{2} = 9 \Rightarrow t = \pm 3$$ $$t^{2} = 27 \Rightarrow t = \pm\sqrt{27}$$ Так как $t > 0$, подходят только $t = 3$ и $t = \sqrt{27}$. Возвращаемся к переменной $x$: $$3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1$$ $$3^{x} = \sqrt{27} = 3^{3/2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}$$ **б)** Проверим, какие корни лежат в отрезке $[\log_{7}4; \log_{7}16]$. Для $x = 1$: $$1 = \log_{7}7$$ Поскольку $4 < 7 < 16$, имеем $\log_{7}4 < \log_{7}7 < \log_{7}16$, следовательно, $1 \in [\log_{7}4; \log_{7}16]$. Для $x = \frac{3}{2}$: $$\frac{3}{2} = \log_{7}7^{3/2} = \log_{7}\sqrt{343}$$ Сравним $\sqrt{343}$ и $16$: $\sqrt{343} \approx 18{,}52 > 16$. Поэтому $\log_{7}\sqrt{343} > \log_{7}16$, и $\frac{3}{2} otin [\log_{7}4; \log_{7}16]$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике