Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} (xy - x + 8) \cdot \sqrt{y - x + 8} = 0 \ y = 2x + a \end{array} ight.$$

имеет ровно два решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить произведение под корнем на два случая, найти геометрическое место решений (гиперболу и прямую), а затем определить значения параметра, при которых прямая $y = 2x + a$ пересекает это множество ровно в двух точках.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, и подкоренное выражение неотрицательно:

$$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} xy - x + 8 = 0 \ y - x + 8 = 0 \end{array} ight. \ y - x + 8 \geq 0 \end{array} ight.$$

Преобразуем первое условие:

$$x(y - 1) = -8 \implies y = -\frac{8}{x} + 1$$

Второе условие даёт:

$$y = x - 8$$

С учётом ограничения $y \geq x - 8$, множество решений состоит из:
- гиперболы $y = -\frac{8}{x} + 1$ при $y \geq x - 8$;
- прямой $y = x - 8$ при $y \geq x - 8$ (то есть всей прямой).

Найдём точки пересечения гиперболы и прямой $y = x - 8$:

$$-\frac{8}{x} + 1 = x - 8$$

$$x + \frac{8}{x} - 9 = 0$$

$$\frac{x^2 - 9x + 8}{x} = 0$$

$$x^2 - 9x + 8 = 0$$

$$x_1 = 1, \quad y_1 = -7 \quad 	ext{(точка } C	ext{)}$$

$$x_2 = 8, \quad y_2 = 0 \quad 	ext{(точка } D	ext{)}$$

Подставим эти точки в уравнение $y = 2x + a$:

Для точки $C(1; -7)$:
$$-7 = 2 + a \implies a = -9$$

Для точки $D(8; 0)$:
$$0 = 16 + a \implies a = -16$$

Найдём значения параметра, при которых прямая $y = 2x + a$ касается гиперболы:

$$-\frac{8}{x} + 1 = 2x + a$$

$$2x^2 + (a - 1)x + 8 = 0$$

Условие касания (дискриминант равен нулю):

$$D = (a - 1)^2 - 64 = 0$$

$$(a - 1)^2 = 64$$

$$a - 1 = \pm 8$$

$$a = 9 \quad 	ext{(точка } A	ext{)} \quad 	ext{или} \quad a = -7 \quad 	ext{(точка } B	ext{)}$$

Анализируя график: система имеет ровно два решения при:
- $-16 < a \leq -9$ (прямая пересекает гиперболу в двух точках и не пересекает прямую $y = x - 8$ в дополнительных точках);
- $a = -7$ (касание гиперболы в одной точке плюс пересечение с прямой в одной точке);
- $a = 9$ (касание гиперболы в одной точке плюс пересечение с прямой в одной точке).

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике