Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \log_{7}(36 - y^{2}) = \log_{7}(36 - a^{2}x^{2}) \ x^{2} + y^{2} = 2x + 6y \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: из первого уравнения получить связь между $x$ и $y$, подставить во второе, найти геометрическое место точек и определить, при каких $a$ система имеет ровно два решения. Из условия логарифмов требуется: $$36 - y^{2} > 0, \quad 36 - a^{2}x^{2} > 0$$ Поскольку логарифмы равны, их аргументы совпадают: $$36 - y^{2} = 36 - a^{2}x^{2}$$ $$y^{2} = a^{2}x^{2}$$ $$y = \pm ax$$ Преобразуем второе уравнение системы: $$x^{2} - 2x + y^{2} - 6y = 0$$ $$(x - 1)^{2} - 1 + (y - 3)^{2} - 9 = 0$$ $$(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 10$$ Это окружность с центром $C(1; 3)$ и радиусом $\sqrt{10}$. Из условия $y^{2} < 36$ получаем $-6 < y < 6$. Рассмотрим три случая. **Случай 1:** $a = 0$. Тогда $y = 0$, и окружность пересекает прямую $y = 0$ в двух точках. Проверим: $(x - 1)^{2} + 9 = 10$, откуда $(x - 1)^{2} = 1$, то есть $x = 0$ или $x = 2$. Оба решения удовлетворяют $|y| < 6$. Получаем ровно два решения. **Случай 2:** $a eq 0$. Прямые $y = ax$ и $y = -ax$ проходят через начало координат. Проверим, лежит ли оно на окружности: $(0 - 1)^{2} + (0 - 3)^{2} = 1 + 9 = 10$. Да, точка $O(0; 0)$ лежит на окружности. Для прямой $y = ax$: подставим в уравнение окружности: $$(x - 1)^{2} + (ax - 3)^{2} = 10$$ $$x^{2} - 2x + 1 + a^{2}x^{2} - 6ax + 9 = 10$$ $$(1 + a^{2})x^{2} - (2 + 6a)x = 0$$ $$x[(1 + a^{2})x - (2 + 6a)] = 0$$ Решения: $x = 0$ (точка $O$) и $x = \frac{2 + 6a}{1 + a^{2}}$. Для прямой $y = -ax$: аналогично получаем $x = 0$ и $x = \frac{2 - 6a}{1 + a^{2}}$. Для ровно двух решений системы нужно, чтобы одна из прямых касалась окружности (дав одно решение — точку $O$), а другая пересекала её в двух точках, одна из которых — снова $O$. Расстояние от центра $C(1; 3)$ до прямой $y = ax$ (или $ax - y = 0$) равно: $$d = \frac{|a \cdot 1 - 1 \cdot 3|}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \frac{|a - 3|}{\sqrt{a^{2} + 1}}$$ Для касания: $d = \sqrt{10}$ $$\frac{|a - 3|}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \sqrt{10}$$ $$|a - 3| = \sqrt{10(a^{2} + 1)}$$ $$(a - 3)^{2} = 10a^{2} + 10$$ $$a^{2} - 6a + 9 = 10a^{2} + 10$$ $$9a^{2} + 6a + 1 = 0$$ $$(3a + 1)^{2} = 0$$ $$a = -\frac{1}{3}$$ Аналогично для прямой $y = -ax$: $$\frac{|-a - 3|}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \sqrt{10}$$ $$|a + 3| = \sqrt{10(a^{2} + 1)}$$ $$(a + 3)^{2} = 10a^{2} + 10$$ $$a^{2} + 6a + 9 = 10a^{2} + 10$$ $$9a^{2} - 6a + 1 = 0$$ $$(3a - 1)^{2} = 0$$ $$a = \frac{1}{3}$$ Если $|a| \geq 3$, то обе прямые пересекают окружность в двух точках каждая, но обе проходят через $O$. Общих решений будет три (две точки пересечения на каждой прямой минус одна общая точка $O$), что не подходит. Однако нужно проверить условие $|y| < 6$. При $|a| \geq 3$ вторые точки пересечения удаляются от начала координат, и их ординаты могут выйти за границы $(-6; 6)$. Анализ показывает, что при $|a| \geq 3$ ровно одна из двух точек пересечения каждой прямой с окружностью удовлетворяет условию $|y| < 6$, что даёт ровно два решения.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике