Question

Решите неравенство:

$$x^2 \log_{625}(-2-x) \geq \log_5(x^2 + 4x + 4)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать основания логарифмов к единому виду, упростить аргументы, затем применить метод рационализации. Переведём основание $625$ в степень пятёрки: $$x^2 \log_{5^4}(-2-x) \geq \log_5(x+2)^2$$ Применим свойства логарифмов: $$x^2 \cdot \frac{1}{4}\log_5(-2-x) \geq 2\log_5|x+2|$$ Найдём область допустимых значений. Требуется: - $-2-x > 0$, откуда $x < -2$; - $x^2 + 4x + 4 > 0$, то есть $(x+2)^2 > 0$, откуда $x eq -2$. Объединяя условия, получаем $x < -2$. При $x < -2$ имеем $|x+2| = -x-2$, поэтому: $$\frac{x^2}{4}\log_5(-2-x) \geq 2\log_5(-2-x)$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{x^2}{4}\log_5(-2-x) - 2\log_5(-2-x) \geq 0$$ Вынесем общий множитель: $$\log_5(-2-x)\left(\frac{x^2}{4} - 2 ight) \geq 0$$ $$\log_5(-2-x) \cdot \frac{x^2 - 8}{4} \geq 0$$ Применим метод рационализации. Неравенство $\log_a f \cdot g \geq 0$ равносильно $(a-1)(f-1) \cdot g \geq 0$ при $f > 0$: $$(5-1)(-2-x-1)(x^2-8) \geq 0$$ $$4(-3-x)(x^2-8) \geq 0$$ $$(-3-x)(x^2-8) \geq 0$$ Разложим $x^2 - 8 = (x-\sqrt{8})(x+\sqrt{8}) = (x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})$: $$(-3-x)(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2}) \geq 0$$ Или эквивалентно: $$(x+3)(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2}) \leq 0$$ Критические точки: $x = -3$, $x = -2\sqrt{2} \approx -2{,}83$, $x = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$. Упорядочим: $-3 < -2\sqrt{2} < 2\sqrt{2}$. По методу интервалов: - При $x < -3$: произведение положительно; - При $-3 < x < -2\sqrt{2}$: произведение отрицательно; - При $-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}$: произведение положительно; - При $x > 2\sqrt{2}$: произведение отрицательно. Решение неравенства: $x \in [-3, -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}, +\infty)$. Пересечём с ограничением $x < -2$: - Отрезок $[-3, -2\sqrt{2}]$ полностью лежит в $(-\infty, -2)$, так как $-2\sqrt{2} \approx -2{,}83 < -2$. - Отрезок $[2\sqrt{2}, +\infty)$ не пересекается с $(-\infty, -2)$.

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике