Question

Найдите все значения $a$, при которых уравнение
$$\left( 2x+a+1-	an x ight)^{2}=\left( 2x+a-1+	an x ight)^{2}$$
имеет единственное решение на отрезке $\left[ 0;\pi ight]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить разность квадратов, найти все решения исходного уравнения, а затем выбрать значения параметра, при которых на заданном отрезке остаётся ровно одно решение. Применим формулу разности квадратов: $$\left( 2x+a+1- an x ight)^{2}-\left( 2x+a-1+ an x ight)^{2}=0$$ $$\left( 2x+a+1- an x - 2x - a + 1 - an x ight)\left( 2x+a+1- an x + 2x + a - 1 - an x ight)=0$$ $$\left( 2 - 2 an x ight)\left( 4x + 2a - 2 an x ight)=0$$ Упростим: $$2\left( 1 - an x ight) \cdot 2\left( 2x + a - an x ight)=0$$ $$\left( 1 - an x ight)\left( 2x + a - an x ight)=0$$ Получаем два условия: **Первое условие:** $ an x = 1$ На отрезке $\left[ 0;\pi ight]$ (где $\cos x eq 0$) это даёт $x = \frac{\pi}{4}$. **Второе условие:** $2x + a - an x = 0$, откуда $x = -\frac{a}{2}$ (при условии, что это значение удовлетворяет исходному уравнению). Для единственного решения на $\left[ 0;\pi ight]$ необходимо, чтобы $x = \frac{\pi}{4}$ был единственным корнем. Это возможно в следующих случаях: **Случай 1:** Второе решение не принадлежит отрезку $\left[ 0;\pi ight]$. Условие $-\frac{a}{2} otin \left[ 0;\pi ight]$ означает: $$-\frac{a}{2} < 0 \quad ext{или} \quad -\frac{a}{2} > \pi$$ $$a > 0 \quad ext{или} \quad a < -2\pi$$ **Случай 2:** Второе решение совпадает с первым$$-\frac{a}{2} = \frac{\pi}{4}$$ $$a = -\frac{\pi}{2}$$ **Случай 3:** Второе решение попадает в точку, где тангенс не определён. На отрезке $\left[ 0;\pi ight]$ тангенс не определён при $x = \frac{\pi}{2}$: $$-\frac{a}{2} = \frac{\pi}{2}$$ $$a = -\pi$$ Объединяя все случаи: $$a \in \left( -\infty; -2\pi ight) \cup \left\{ -\pi ight\} \cup \left\{ -\frac{\pi}{2} ight\} \cup \left( 0; +\infty ight)$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике