Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 10\cos x - 14x + 5$ на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]$.

Accepted Answer

15

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, установить монотонность функции и вычислить её значение в граничной точке.

Вычислим производную:

$$y' = -10\sin x - 14$$

Приравняем производную к нулю:

$$-10\sin x - 14 = 0$$

$$\sin x = -1{,}4$$

Поскольку область значений синуса — отрезок $[-1; 1]$, уравнение решений не имеет.

Проверим знак производной. Для любого $x$ справедливо $\sin x \leq 1$, поэтому:

$$y' = -10\sin x - 14 \geq -10 \cdot 1 - 14 = -24 < 0$$

Производная всегда отрицательна, следовательно, функция строго убывает на всём отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]$.

Минимум убывающей функции достигается в правом конце промежутка, то есть при $x = 0$:

$$y(0) = 10\cos 0 - 14 \cdot 0 + 5 = 10 + 5 = 15$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике