Question

Решите неравенство:

$$\frac{\log_2(2-x) - \log_2(x+1)}{\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1} \geq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить знаменатель через замену логарифма, найти область определения, затем решить неравенство методом интервалов.

Преобразуем знаменатель. Заметим, что $\log_2 x^2 = 2\log_2|x|$ и $\log_2 x^4 = 4\log_2|x|$. Обозначим $t = \log_2|x|$:

$$\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1 = 4t^2 + 4t + 1 = (2t + 1)^2$$

Исходное неравенство принимает вид:

$$\frac{\log_2(2-x) - \log_2(x+1)}{(2\log_2|x| + 1)^2} \geq 0$$

**Область определения:**

Требуем:
- $2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$
- $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
- $x^2 > 0 \Rightarrow x 
eq 0$

Получаем: $x \in (-1; 0) \cup (0; 2)$.

**Анализ неравенства:**

Знаменатель $(2\log_2|x| + 1)^2$ всегда неотрицательный. Он равен нулю при $\log_2|x| = -\frac{1}{2}$, то есть $|x| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707 > 0{,}5$, точка $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ лежит вне интервала $(-1; \frac{1}{2}]$, поэтому знаменатель не обращается в нуль на решении.

Неравенство равносильно:

$$\log_2(2-x) - \log_2(x+1) \geq 0$$

$$\log_2\frac{2-x}{x+1} \geq 0$$

$$\frac{2-x}{x+1} \geq 1$$

$$\frac{2-x - (x+1)}{x+1} \geq 0$$

$$\frac{1-2x}{x+1} \geq 0$$

Нули числителя и знаменателя: $x = -1$ и $x = \frac{1}{2}$.

По методу интервалов: $x \in (-1; \frac{1}{2}]$.

**Пересечение с областью определения:**

$$\left[(-1; \frac{1}{2}] \cap [(-1; 0) \cup (0; 2)]ight] = (-1; 0) \cup (0; \frac{1}{2}]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике