Question

Решите неравенство:

$$\log_{11}(2x^2 + 1) + \log_{11}\left(\frac{1}{32x} + 1\right) \geq \log_{11}\left(\frac{x}{16} + 1\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойства логарифмов для упрощения неравенства, найти область допустимых значений и решить полученное рациональное неравенство методом интервалов. **Область допустимых значений:** Требуется выполнение условий: $$\begin{cases} 2x^2 + 1 > 0 \ \frac{1}{32x} + 1 > 0 \ \frac{x}{16} + 1 > 0 \ x eq 0 \end{cases}$$ Первое неравенство верно при всех $x$. Для второго: $$\frac{1}{32x} + 1 > 0 \Rightarrow \frac{1 + 32x}{32x} > 0$$ Это выполняется при $x \in (-\infty; -\frac{1}{32}) \cup (0; +\infty)$. Третье неравенство дает $x > -16$. Объединяя все условия, получаем: $$x \in \left(-16; -\frac{1}{32} ight) \cup (0; +\infty)$$ **Решение неравенства:** Используя свойство суммы логарифмов: $$\log_{11}\left((2x^2 + 1) \cdot \left(\frac{1}{32x} + 1 ight) ight) \geq \log_{11}\left(\frac{x}{16} + 1 ight)$$ Так как основание $11 > 1$, логарифм — возрастающая функция: $$(2x^2 + 1)\left(\frac{1}{32x} + 1 ight) \geq \frac{x}{16} + 1$$ Раскроем скобки слева: $$\frac{2x^2}{32x} + 2x^2 + \frac{1}{32x} + 1 \geq \frac{x}{16} + 1$$ $$\frac{x}{16} + 2x^2 + \frac{1}{32x} + 1 \geq \frac{x}{16} + 1$$ $$2x^2 + \frac{1}{32x} \geq 0$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{64x^3 + 1}{32x} \geq 0$$ Найдем нули числителя: $$64x^3 + 1 = 0 \Rightarrow x^3 = -\frac{1}{64} \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$$ Применим метод интервалов. Критические точки: $x = -\frac{1}{4}$ и $x = 0$. Анализируя знаки на интервалах: - При $x < -\frac{1}{4}$: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен → дробь положительна. - При $-\frac{1}{4} < x < 0$: числитель положителен, знаменатель отрицателен → дробь отрицательна. - При $x > 0$: числитель положителен, знаменатель положителен → дробь положительна. Получаем: $$x \in \left(-\infty; -\frac{1}{4} ight] \cup (0; +\infty)$$ **Пересечение с областью допустимых значений:** $$x \in \left(-16; -\frac{1}{32} ight) \cup (0; +\infty) \cap \left[\left(-\infty; -\frac{1}{4} ight] \cup (0; +\infty) ight] = \left(-16; -\frac{1}{4} ight] \cup (0; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике