Question

В сосуде конической формы жидкость заполняет объём до уровня, составляющего $\frac{1}{3}$ от полной высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Какой объём жидкости требуется добавить, чтобы заполнить сосуд полностью?

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/RhNkxc0ZusV0YSMC79FWejzICeqF4Aqoj7H4Tav8.jpg)

Accepted Answer

104

Answer

Идея решения: использовать подобие конусов и связь между линейными размерами и объёмом.

Объём конуса вычисляется по формуле:

$$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$$

Жидкость в сосуде образует меньший конус, подобный исходному. Поскольку высота жидкости составляет $\frac{1}{3}$ от полной высоты конуса, все линейные размеры малого конуса в $3$ раза меньше размеров большого конуса.

Обозначим радиус и высоту полного конуса как $R$ и $h$ соответственно. Тогда радиус и высота конуса жидкости равны $\frac{R}{3}$ и $\frac{h}{3}$.

Объём жидкости:

$$V_{	ext{жидкости}} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{R}{3}ight)^2 \cdot \frac{h}{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{R^2}{9} \cdot \frac{h}{3} = \frac{\pi R^2 h}{81} = 4$$

Отсюда получаем:

$$\pi R^2 h = 324$$

Полный объём конуса:

$$V_{	ext{полный}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{324}{3} = 108$$ мл

Объём жидкости, который нужно добавить:

$$V_{	ext{долить}} = 108 - 4 = 104$$ мл

Задание №3СтереометрияЕГЭ по математике