Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 111\cos x + 113x + 69$ на отрезке $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

180

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, установить монотонность функции и определить минимум на границе отрезка.

Вычислим производную:

$$y' = -111\sin x + 113$$

Приравняем её к нулю:

$$-111\sin x + 113 = 0$$

$$\sin x = \frac{113}{111}$$

Поскольку $\frac{113}{111} > 1$, а область значений синуса — отрезок $[-1; 1]$, уравнение решений не имеет.

Так как производная $y' = -111\sin x + 113$ всегда положительна (максимум $\sin x$ равен 1, поэтому $-111 \cdot 1 + 113 = 2 > 0$), функция строго возрастает на всём отрезке $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Следовательно, наименьшее значение достигается в левой границе:

$$y(0) = 111 \cdot \cos 0 + 113 \cdot 0 + 69 = 111 \cdot 1 + 0 + 69 = 180$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике