Question

Решите неравенство:

$$\frac{31-5\cdot{2}^{x}}{{4}^{x}-24\cdot{2}^{x}+128}\geq 0{,}25$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = 2^x$, приведём неравенство к общему знаменателю, упростим числитель и применим метод интервалов.

Обозначим $t = 2^x$ (где $t > 0$). Заметим, что $4^x = t^2$. Перепишем неравенство:

$$\frac{31-5t}{t^{2}-24t+128} - \frac{1}{4} \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4(31-5t) - (t^{2}-24t+128)}{4(t^{2}-24t+128)} \geq 0$$

Упростим числитель:

$$4(31-5t) - (t^{2}-24t+128) = 124 - 20t - t^{2} + 24t - 128 = -t^{2} + 4t - 4$$

Знаменатель разложим на множители. Найдём корни $t^{2}-24t+128 = 0$:

$$t = \frac{24 \pm \sqrt{576-512}}{2} = \frac{24 \pm 8}{2}$$

Получаем $t = 16$ и $t = 8$, поэтому $t^{2}-24t+128 = (t-8)(t-16)$.

Неравенство принимает вид:

$$\frac{-t^{2}+4t-4}{4(t-8)(t-16)} \geq 0$$

Умножим обе части на $-4$ (знак неравенства меняется):

$$\frac{t^{2}-4t+4}{(t-8)(t-16)} \leq 0$$

Заметим, что $t^{2}-4t+4 = (t-2)^{2}$:

$$\frac{(t-2)^{2}}{(t-8)(t-16)} \leq 0$$

Числитель $(t-2)^{2} \geq 0$ при всех $t$, обращаясь в нуль только при $t = 2$. Дробь неположительна, когда знаменатель отрицателен или числитель равен нулю.

По методу интервалов (см. диаграмму выше): дробь $\leq 0$ при $t = 2$ или $8 < t < 16$.

Вернёмся к переменной $x$:

- $2^x = 2$ даёт $x = 1$;
- $8 < 2^x < 16$ означает $2^3 < 2^x < 2^4$, откуда $3 < x < 4$.

Объединяя оба случая:

$$x = 1 	ext{ или } 3 < x < 4$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике