Question

Байдарка отправилась из пункта А в пункт В (расстояние 15 км) в 10:00. После остановки в пункте В на 1 час 20 минут байдарка вернулась в пункт А, прибыв туда в 16:00. Найдите собственную скорость байдарки (в км/ч), если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Accepted Answer

7

Answer

Идея решения: обозначить собственную скорость байдарки через $x$, составить уравнение на основе времени в пути туда и обратно, учитывая остановку.

Обозначим собственную скорость байдарки как $x$ км/ч.

При движении по течению скорость составляет $x + 2$ км/ч, против течения — $x - 2$ км/ч.

Время в пути по течению (из А в В):

$$t_1 = \frac{15}{x+2}$$

Время в пути против течения (из В в А):

$$t_2 = \frac{15}{x-2}$$

Общее время в пути с учётом остановки: байдарка была в пути с 10:00 до 16:00, то есть 6 часов, минус 1 час 20 минут остановки в пункте В$$6 - 1\frac{1}{3} = 6 - \frac{4}{3} = \frac{14}{3}$$ часа

Составим уравнение:

$$\frac{15}{x+2} + \frac{15}{x-2} = \frac{14}{3}$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{15(x-2) + 15(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{14}{3}$$

$$\frac{15x - 30 + 15x + 30}{x^2 - 4} = \frac{14}{3}$$

$$\frac{30x}{x^2 - 4} = \frac{14}{3}$$

Перемножим крест-накрест:

$$90x = 14(x^2 - 4)$$

$$90x = 14x^2 - 56$$

$$14x^2 - 90x - 56 = 0$$

$$7x^2 - 45x - 28 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 45^2 + 4 \cdot 7 \cdot 28 = 2025 + 784 = 2809 = 53^2$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{45 \pm 53}{14}$$

$$x_1 = \frac{45 + 53}{14} = \frac{98}{14} = 7$$

$$x_2 = \frac{45 - 53}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, $x = 7$ км/ч.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике