Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$$a^2 - ax - 2x^2 - 6a + 3x + 9|x| = 0$$
имеет четыре различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскрыть модуль по знаку переменной, решить два квадратных уравнения относительно $a$ и найти значения параметра, при которых получается ровно четыре корня.

Раскроем модуль:

$$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x \leq 0 \ a^2 - ax - 2x^2 - 6a - 6x = 0 \end{cases} \quad (1) \ \begin{cases} x > 0 \ a^2 - ax - 2x^2 - 6a + 12x = 0 \end{cases} \quad (2) \end{array} ight.$$

**Уравнение (1):** $a^2 - ax - 2x^2 - 6a - 6x = 0$

Рассмотрим как квадратное относительно $a$:
$$a^2 - (x + 6)a - 2x^2 - 6x = 0$$

Дискриминант:
$$D = (x + 6)^2 + 4(2x^2 + 6x) = x^2 + 12x + 36 + 8x^2 + 24x = 9x^2 + 36x + 36 = (3x + 6)^2$$

Корни:
$$a = \frac{(x + 6) \pm (3x + 6)}{2}$$

$$a_1 = \frac{x + 6 - 3x - 6}{2} = -x, \quad a_2 = \frac{x + 6 + 3x + 6}{2} = 2x + 6$$

Для $x \leq 0$: $a = -x$ или $a = 2x + 6$.

**Уравнение (2):** $a^2 - ax - 2x^2 - 6a + 12x = 0$

Рассмотрим как квадратное относительно $a$:
$$a^2 - (x + 6)a - 2x^2 + 12x = 0$$

Дискриминант:
$$D = (x + 6)^2 + 4(2x^2 - 12x) = x^2 + 12x + 36 + 8x^2 - 48x = 9x^2 - 36x + 36 = (3x - 6)^2$$

Корни:
$$a = \frac{(x + 6) \pm (3x - 6)}{2}$$

$$a_1 = \frac{x + 6 - 3x + 6}{2} = 6 - x, \quad a_2 = \frac{x + 6 + 3x - 6}{2} = 2x$$

Для $x > 0$: $a = 6 - x$ или $a = 2x$.

Построим графики четырёх линий в плоскости $(x, a)$:
- $a = -x$ при $x \leq 0$
- $a = 2x + 6$ при $x \leq 0$
- $a = 6 - x$ при $x > 0$
- $a = 2x$ при $x > 0$

Горизонтальная прямая $a = 	ext{const}$ пересекает эту конструкцию в четырёх точках при значениях $a$, соответствующих промежуткам между критическими точками пересечения линий.

Найдём точки пересечения:
- При $x = 0$: $a = -0 = 0$ (из первой линии) и $a = 2 \cdot 0 + 6 = 6$ (из второй линии)
- При $x = 0$: $a = 6 - 0 = 6$ (из третьей линии) и $a = 2 \cdot 0 = 0$ (из четвёртой линии)
- Пересечение $a = -x$ и $a = 6 - x$: $-x = 6 - x$ — нет решения
- Пересечение $a = 2x + 6$ и $a = 2x$: $2x + 6 = 2x$ — нет решения
- Пересечение $a = -x$ и $a = 2x$: $-x = 2x \Rightarrow x = 0$ (граница)
- Пересечение $a = 2x + 6$ и $a = 6 - x$: $2x + 6 = 6 - x \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0$ (граница)

Анализируя график, горизонтальная прямая пересекает все четыре отрезка ровно в четырёх точках при $a \in (2; 4)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике