Question

Решите неравенство:

$$\frac{27^{x+1}-3\cdot 9^{x+1}+3^{x+2}-1}{50x^{2}+50x+12{,}5}\geq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать числитель через замену $t = 3^x$, свести к кубу разности, а затем учесть область определения.

**Область определения:**

Знаменатель не равен нулю:

$$50x^{2}+50x+12{,}5 
eq 0$$

Умножим на 2:

$$100x^{2}+100x+25 
eq 0$$

$$(10x+5)^{2} 
eq 0$$

$$x 
eq -\frac{1}{2}$$

**Анализ числителя:**

Преобразуем числитель:

$$27^{x+1}-3\cdot 9^{x+1}+3^{x+2}-1 = 27 \cdot 27^{x} - 3 \cdot 9 \cdot 9^{x} + 3 \cdot 3^{x} - 1$$

$$= 27 \cdot (3^{x})^3 - 27 \cdot (3^{x})^2 + 9 \cdot 3^{x} - 1$$

Обозначим $t = 3^{x}$, где $t > 0$:

$$27t^{3} - 27t^{2} + 9t - 1 \geq 0$$

Заметим, что это куб разности:

$$(3t - 1)^{3} \geq 0$$

**Решение кубического неравенства:**

Куб числа неотрицателен тогда и только тогда, когда само число неотрицательно:

$$3t - 1 \geq 0$$

$$t \geq \frac{1}{3}$$

**Возврат к исходной переменной:**

$$3^{x} \geq \frac{1}{3}$$

$$3^{x} \geq 3^{-1}$$

$$x \geq -1$$

**Учёт области определения:**

Объединяем условие $x \geq -1$ с ограничением $x 
eq -\frac{1}{2}$:

$$x \in [-1; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике