Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств

$$ax - 1 \geq 4$$
$$2x - 2 \geq a$$
$$3x < a + 14$$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4; 5]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: переписать систему в виде условий на $a$ в зависимости от $x$, а затем найти значения $a$, при которых эти условия совместны для некоторого $x \in [4; 5]$.

Преобразуем каждое неравенство:

$$ax - 1 \geq 4 \Rightarrow a \geq \frac{5}{x - 1} \quad (1)$$

$$2x - 2 \geq a \Rightarrow a \leq 2(x - 1) \quad (2)$$

$$3x < a + 14 \Rightarrow a > 3x - 14 \quad (3)$$

Система имеет решение при $x \in [4; 5]$, если существует $x$ из этого отрезка, для которого одновременно выполнены условия (1), (2) и (3).

**Анализ граничных точек:**

При $x = 4$:
- Из (1): $a \geq \frac{5}{3}$
- Из (2): $a \leq 6$
- Из (3): $a > -2$

Пересечение: $\frac{5}{3} \leq a \leq 6$.

При $x = 5$:
- Из (1): $a \geq \frac{5}{4}$
- Из (2): $a \leq 8$
- Из (3): $a > 1$

Пересечение: $\frac{5}{4} \leq a \leq 8$.

**Определение критических значений:**

Граница между несовместностью и совместностью системы достигается, когда кривые касаются друг друга. На графике видно, что:

- При $x = 5$ кривая $a = \frac{5}{x - 1}$ пересекает горизонтальную линию $a = 1$, откуда $a = 1$.
- При $x = 5$ кривая $a = 2(x - 1)$ принимает значение $a = 2 \cdot 4 = 8$.
- При $x = 5$ кривая $a = 3x - 14$ принимает значение $a = 1$.

Проверим совместность на концах отрезка и найдём диапазон $a$:

Для $x \in [4; 5]$ система совместна при $a \in [1; 8]$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике