Question

Решите неравенство:

$$\frac{1}{{\log}_{3}x+4}+\frac{2}{{\log}_{3}(3x)}\cdot\left( \frac{2}{{\log}_{3}x+4}-1 \right)\leq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить логарифмические свойства, ввести замену переменной и решить рациональное неравенство методом интервалов. Используя свойство логарифма произведения, преобразуем второе слагаемое: $${\log}_{3}(3x) = {\log}_{3}3 + {\log}_{3}x = 1 + {\log}_{3}x$$ Исходное неравенство принимает вид: $$\frac{1}{{\log}_{3}x+4}+\frac{2}{1+{\log}_{3}x}\cdot\left( \frac{2}{{\log}_{3}x+4}-1 ight)\leq0$$ Введём замену $t = {\log}_{3}x$: $$\frac{1}{t+4}+\frac{2}{1+t}\cdot\left( \frac{2}{t+4}-1 ight)\leq0$$ Упростим выражение в скобках: $$\frac{2}{t+4}-1 = \frac{2-(t+4)}{t+4} = \frac{-t-2}{t+4}$$ Подставим: $$\frac{1}{t+4}+\frac{2}{1+t}\cdot\frac{-t-2}{t+4}\leq0$$ $$\frac{1}{t+4}+\frac{-2(t+2)}{(t+1)(t+4)}\leq0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t+1-2(t+2)}{(t+1)(t+4)}\leq0$$ $$\frac{t+1-2t-4}{(t+1)(t+4)}\leq0$$ $$\frac{-t-3}{(t+1)(t+4)}\leq0$$ Найдём нули числителя и знаменателя: - Числитель: $-t-3=0 \Rightarrow t=-3$ - Знаменатель: $t eq -1$, $t eq -4$ Применим метод интервалов. На числовой оси отмечаем точки $-4$, $-3$, $-1$ и определяем знаки выражения на каждом интервале: $$t \in (-4; -3] \cup (-1; +\infty)$$ Вернёмся к переменной $x$, используя $t = {\log}_{3}x$. **Для интервала $-4 < t \leq -3$:** $$-4 < {\log}_{3}x \leq -3$$ $${\log}_{3}3^{-4} < {\log}_{3}x \leq {\log}_{3}3^{-3}$$ $${\log}_{3}\frac{1}{81} < {\log}_{3}x \leq {\log}_{3}\frac{1}{27}$$ $$\frac{1}{81} < x \leq \frac{1}{27}$$ **Для интервала $t > -1$:** $${\log}_{3}x > -1$$ $${\log}_{3}x > {\log}_{3}3^{-1}$$ $$x > \frac{1}{3}$$ Объединяя оба решения: $$x \in \left(\frac{1}{81}; \frac{1}{27} ight] \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty ight)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике