Question

Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1 806 000 рублей. Сотрудник банка предложил два варианта погашения.

**Вариант 1:**
- каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- кредит погашается за два года двумя равными платежами.

**Вариант 2:**
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 24-го месяца кредит полностью погашен.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: вычислить общие выплаты по каждому варианту и найти разницу.

**Вариант 1**

Обозначим сумму кредита через $S = 1806$ тыс. рублей. Пусть $x$ — размер каждого платежа.

После первого января долг составляет $1{,}15S$.

После первого платежа в феврале–июне долг становится $1{,}15S - x$.

После второго января долг составляет $1{,}15(1{,}15S - x)$.

После второго платежа долг полностью погашен:

$$1{,}15(1{,}15S - x) - x = 0$$

$$1{,}15^2 S - 1{,}15x - x = 0$$

$$1{,}15^2 S = 2{,}15x$$

$$x = \frac{1{,}15^2 \cdot S}{2{,}15}$$

Подставляем $S = 1806$:

$$x = \frac{1{,}15^2 \cdot 1806}{2{,}15} = 1{,}15^2 \cdot 840 = 1110{,}9 	ext{ тыс. рублей}$$

Общая выплата за два года:

$$2x = 2221{,}8 	ext{ тыс. рублей} = 2 \, 221 \, 800$$ рублей

**Вариант 2**

Обозначим через $x$ величину, на которую долг уменьшается ежемесячно со 2-го по 14-е число. Тогда первоначальный долг равен $24x = 1806$ тыс. рублей.

Банк начисляет 2% ежемесячно на остаток долга. Остатки на 15-е число каждого месяца составляют: $24x, 23x, 22x, \ldots, 2x, x$.

Сумма начисленных процентов:

$$0{,}02(24x + 23x + 22x + \ldots + 2x + x)$$

По формуле суммы арифметической прогрессии:

$$0{,}02 \cdot \frac{24x + x}{2} \cdot 24 = 0{,}02 \cdot 25x \cdot 12 = 6x 	ext{ тыс. рублей}$$

Общая выплата составляет основную сумму плюс проценты:

$$24x + 6x = 30x$$

Из условия $24x = 1806$:

$$x = \frac{1806}{24} = 75{,}25 	ext{ тыс. рублей}$$

$$30x = 30 \cdot 75{,}25 = 2257{,}5 	ext{ тыс. рублей} = 2 \, 257 \, 500$$ рублей

**Сравнение вариантов**

Вариант 1 выгоднее (меньшие выплаты). Разница:

$$2 \, 257 \, 500 - 2 \, 221 \, 800 = 35 \, 700$$ рублей

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике