Question

Решите уравнение $\log_{2}(x+5) = \log_{4}(1-x)$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Accepted Answer

-3

Answer

Идея решения: привести логарифмы к одному основанию, избавиться от логарифмов и решить полученное квадратное уравнение, проверив соответствие области допустимых значений. Найдём область допустимых значений: $$\begin{cases} x+5>0 \ 1-x>0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -5 \ x < 1 \end{cases}$$ Приведём логарифмы к основанию 2. Используя формулу $\log_{4}(a) = \frac{1}{2}\log_{2}(a)$: $$\log_{2}(x+5) = \frac{1}{2}\log_{2}(1-x)$$ Умножим обе части на 2: $$2\log_{2}(x+5) = \log_{2}(1-x)$$ $$\log_{2}(x+5)^2 = \log_{2}(1-x)$$ Так как логарифм — монотонная функция: $$(x+5)^2 = 1-x$$ Раскроем скобки: $$x^2 + 10x + 25 = 1 - x$$ $$x^2 + 11x + 24 = 0$$ По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -11$ и $x_1 \cdot x_2 = 24$. Корни уравнения: $x_1 = -8$ и $x_2 = -3$. Проверим принадлежность области допустимых значений: - $x_1 = -8$: не удовлетворяет условию $x > -5$. - $x_2 = -3$: удовлетворяет условию $-5 < -3 < 1$.

Задание №6УравненияЕГЭ по математике