Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}
(a+2x)\sqrt{1+2ax}=a^2+a+3ax+2x+2x^2 \
y=(a+2x)\sqrt{1+2x}
\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать первое уравнение в произведение, разобрать два случая и найти значения параметра, при которых система имеет ровно два решения.

Заметим, что правую часть первого уравнения можно переписать:

$$a^2+a+3ax+2x+2x^2 = (a+2x)(a+x+1)$$

Тогда первое уравнение принимает вид:

$$(a+2x)\sqrt{1+2ax} = (a+2x)(a+x+1)$$

Перенесём всё в левую часть:

$$(a+2x)(\sqrt{1+2ax} - a - x - 1) = 0$$

Это даёт нам два случая:

**Случай 1:** $a + 2x = 0$, откуда $x = -\frac{a}{2}$.

Условие $1 + 2ax \geq 0$ при этом выполняется автоматически.

**Случай 2:** $\sqrt{1+2ax} = a + x + 1$ (требуется $a + x + 1 \geq 0$).

Возведём в квадрат:

$$1 + 2ax = (a+x+1)^2$$

$$1 + 2ax = a^2 + 2ax + x^2 + 2a + 2x + 1$$

$$0 = a^2 + x^2 + 2a + 2x$$

$$(a+1)^2 + (x+1)^2 = 2$$

Это окружность с центром $(-1, -1)$ и радиусом $\sqrt{2}$.

Из условия $a + x + 1 \geq 0$ получаем $x \geq -a - 1$.

Пересечение окружности с полуплоскостью $x \geq -a - 1$ даёт дугу. Граница $x = -a - 1$ пересекает окружность в точках, где:

$$(a+1)^2 + (-a-1+1)^2 = 2$$
$$(a+1)^2 + a^2 = 2$$
$$2a^2 + 2a - 1 = 0$$
$$a = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Обозначим $a_1 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $a_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из Случая 1 получаем одно решение: $(x, y) = \left(-\frac{a}{2}, \left(a - a\right)\sqrt{1-a}\right)$.

При $a = 0$ это даёт $(0, 0)$.

Из Случая 2 получаем точки на дуге окружности.

Анализируя геометрию: при $a = 0$ Случай 1 даёт точку $(0, 0)$, а Случай 2 даёт дугу окружности $(a+1)^2 + (x+1)^2 = 2$ с условием $x \geq -a - 1$, то есть $x \geq -1$. На этой дуге ровно одна точка с $a = 0$: это $(0, 0)$. Но нужно считать решения $(x, y)$ системы.

При $a \in \left[-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, -1 + \sqrt{2}\right)$ система имеет ровно два различных решения.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике