Question

а) Решите уравнение $\cos^2(\pi - x) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулы приведения, привести уравнение к произведению и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений.

**а) Решение уравнения**

Используя формулы приведения: $\cos(\pi - x) = -\cos x$ и $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + xight) = -\cos x$.

Подставим в исходное уравнение:

$$(-\cos x)^2 - (-\cos x) = 0$$

$$\cos^2 x + \cos x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(\cos x + 1) = 0$$

Получаем совокупность:

$$\left[\begin{array}{l} \cos x = 0 \ \cos x = -1 \end{array}ight.$$

Решаем каждое уравнение:

$$\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \ x = \pi + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \end{array}ight.$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}ight]$**

Для семейства $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:

- $n = 0$: $x = \frac{\pi}{2}$ — не принадлежит отрезку;
- $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{2}$ — принадлежит отрезку;
- $n = -2$: $x = -\frac{3\pi}{2}$ — принадлежит отрезку;
- $n = -3$: $x = -\frac{5\pi}{2}$ — не принадлежит отрезку.

Для семейства $x = \pi + 2\pi k$:

- $k = 0$: $x = \pi$ — не принадлежит отрезку;
- $k = -1$: $x = -\pi$ — принадлежит отрезку;
- $k = -2$: $x = -3\pi$ — не принадлежит отрезку.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике