Question

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое не превосходит 50. Некоторые из этих чисел увеличили на 1 (возможно, только одно). Все числа, ставшие равными 51, удалили с доски, но осталось хотя бы одно число.

а) Может ли среднее арифметическое уменьшиться?

б) Если первоначальное среднее арифметическое равнялось 24, может ли среднее арифметическое оставшихся чисел равняться 17?

в) При первоначальном среднем арифметическом, равном 24, найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.

Accepted Answer

Answer

**а)**

Идея решения: выбрать набор, где большое число (50) будет удалено, а остальные числа малы.

Рассмотрим пример: 19 чисел равны 10, а одно число равно 50.

Первоначальное среднее арифметическое:

$$S_1 = \frac{19 \cdot 10 + 50}{20} = \frac{240}{20} = 12$$

Увеличим число 50 на 1, получим 51, которое удаляется. На доске остаётся 19 чисел по 10.

Новое среднее арифметическое:

$$S_2 = \frac{19 \cdot 10}{19} = 10$$

Поскольку $S_2 < S_1$, среднее арифметическое уменьшилось.

**б)**

Идея решения: составить систему уравнений на основе условий о среднем арифметическом до и после изменений.

Обозначим количество чисел, равных 50, через $n$. Остальные $19 - n$ чисел обозначим как $b$ (каждое), и ещё одно число обозначим как $a$.

Из условия о первоначальном среднем:

$$\frac{50n + (19 - n)b + a}{20} = 24$$

$$50n + 19b - nb + a = 480 \quad (1)$$

После увеличения на 1 числа 50 становятся 51 и удаляются. Остаются $(19 - n)$ чисел, равных $b$, и число $a$. Всего $20 - n$ чисел.

Из условия о новом среднем:

$$\frac{(19 - n)b + a}{20 - n} = 17$$

$$(19 - n)b + a = 17(20 - n)$$

$$19b - nb + a = 340 - 17n \quad (2)$$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$$50n - (-17n) = 480 - 340$$

$$67n = 140$$

$$n = \frac{140}{67} \approx 2{,}09$$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, такой набор невозможен.

**в)**

Идея решения: максимизировать количество чисел 50 (которые будут удалены), остальные числа минимизировать.

Пусть $n$ чисел равны 50, остальные $19 - n$ чисел равны 1, и одно число равно $a$.

Из условия о первоначальном среднем:

$$\frac{50n + (19 - n) \cdot 1 + a}{20} = 24$$

$$50n + 19 - n + a = 480$$

$$49n + a = 461$$

$$a = 461 - 49n$$

Для того чтобы $a$ было натуральным числом, не превосходящим 50:

$$1 \le 461 - 49n \le 50$$

$$411 \le 49n \le 460$$

$$8{,}39... \le n \le 9{,}39$$

Следовательно, $n = 9$, откуда $a = 461 - 441 = 20$.

Проверим первоначальное среднее:

$$S_1 = \frac{9 \cdot 50 + 10 \cdot 1 + 20}{20} = \frac{450 + 10 + 20}{20} = \frac{480}{20} = 24$$

После удаления девяти чисел 51 остаются 10 чисел (равных 1) и число 20, всего 11 чисел.

Новое среднее арифметическое:

$$S_2 = \frac{10 \cdot 1 + 20}{11} = \frac{30}{11}$$

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике