Question

Вычислите значение выражения:

$$4\sqrt{3}\cos^2\frac{23\pi}{12} - 4\sqrt{3}\sin^2\frac{23\pi}{12}$$

Accepted Answer

6

Answer

Идея решения: вынести общий множитель и применить формулу косинуса двойного угла.

Вынесем $4\sqrt{3}$ за скобки:

$$4\sqrt{3}\left(\cos^2\frac{23\pi}{12} - \sin^2\frac{23\pi}{12}\right)$$

Применим формулу $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:

$$4\sqrt{3}\cos\left(2 \cdot \frac{23\pi}{12}\right) = 4\sqrt{3}\cos\frac{23\pi}{6}$$

Преобразуем аргумент косинуса:

$$\frac{23\pi}{6} = \frac{24\pi - \pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6}$$

Используя периодичность косинуса ($\cos(x + 2\pi k) = \cos x$):

$$4\sqrt{3}\cos\left(4\pi - \frac{\pi}{6}\right) = 4\sqrt{3}\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$

Применим свойство чётности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$):

$$4\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}$$

Подставим $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике