Question

а) Решите уравнение $\cos x \cdot \cos 2x + \sqrt{3} \sin^2 x = \cos x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу двойного угла, привести уравнение к кубическому относительно $\cos x$, разложить на множители и найти все решения.

**а) Решение уравнения**

Используем $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$:

$$\cos x \cdot (\cos^2 x - \sin^2 x) + \sqrt{3} \sin^2 x = \cos x$$

Раскроем скобки:

$$\cos^3 x - \cos x \sin^2 x + \sqrt{3} \sin^2 x - \cos x = 0$$

Заменим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$$\cos^3 x - \cos x(1 - \cos^2 x) + \sqrt{3}(1 - \cos^2 x) - \cos x = 0$$

Раскроем скобки:

$$\cos^3 x - \cos x + \cos^3 x + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cos^2 x - \cos x = 0$$

Приведём подобные:

$$2\cos^3 x - \sqrt{3} \cos^2 x - 2\cos x + \sqrt{3} = 0$$

Обозначим $t = \cos x$:

$$2t^3 - \sqrt{3} t^2 - 2t + \sqrt{3} = 0$$

Сгруппируем:

$$2t(t^2 - 1) - \sqrt{3}(t^2 - 1) = 0$$

$$(t^2 - 1)(2t - \sqrt{3}) = 0$$

Получаем три случая:

$$\left[ \begin{array}{l} t^2 = 1 \ t = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} ight. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} t = -1 \ t = 1 \ t = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} ight.$$

Возвращаемся к переменной $x$:

$$\left[ \begin{array}{l} \cos x = -1 \ \cos x = 1 \ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} ight. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pi + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \ x = 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z} \end{array} ight.$$

Объединим первые два семейства:

$$\left[ \begin{array}{l} x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z} \ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z} \end{array} ight.$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} ight]$**

**Семейство $x = \pi k$:**

$$-4\pi \leq \pi k \leq -\frac{5\pi}{2}$$

$$-4 \leq k \leq -2{,}5$$

Целые значения: $k = -4$ и $k = -3$.

Получаем: $x = -4\pi$ и $x = -3\pi$.

**Семейство $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$:**

$$-4\pi \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq -\frac{5\pi}{2}$$

Умножим на $\frac{6}{\pi}$:

$$-24 \leq 1 + 12n \leq -15$$

$$-25 \leq 12n \leq -16$$

$$-2{,}08... \leq n \leq -1{,}33$$

Целое значение: $n = -2$.

Получаем: $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$.

**Семейство $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m$:**

$$-4\pi \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi m \leq -\frac{5\pi}{2}$$

Умножим на $\frac{6}{\pi}$:

$$-24 \leq -1 + 12m \leq -15$$

$$-23 \leq 12m \leq -14$$

$$-1{,}91... \leq m \leq -1{,}16$$

Целых значений нет.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике