Question

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 8, а боковое ребро $SA$ равно 7. На ребрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM = 2$ , $SK = 1$ .

а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$ .

б) Найдите объём пирамиды $BCKM$ .

а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

б) Найдите объём пирамиды $BCKM$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить, что прямая $KH$ (пересечение плоскостей $CKM$ и $ABC$) параллельна высоте пирамиды $SO$, откуда следует перпендикулярность плоскостей.

**а) Доказательство перпендикулярности плоскостей**

Поскольку $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида, основание $ABCD$ является квадратом со стороной 8, и $\angle ABC = 90°$.

Найдём $MC$ по теореме Пифагора в треугольнике $MBC$:
$$MC^2 = BC^2 + MB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$
$$MC = 10$$

Обозначим $O$ — центр квадрата (пересечение диагоналей). Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания. Диагональ квадрата равна $8\sqrt{2}$, поэтому $BO = 4\sqrt{2}$.

По теореме Пифагора в треугольнике $SOB$:
$$SO = \sqrt{SB^2 - BO^2} = \sqrt{49 - 32} = \sqrt{17}$$

Найдём точку $H$ — пересечение прямых $MC$ и $AB$ в плоскости основания. Треугольники $MHB$ и $CHD$ подобны (вертикальные углы при $H$ и накрест лежащие углы при параллельных $AB$ и $CD$):
$$\frac{MB}{DC} = \frac{HB}{DH} = \frac{3}{4}$$

Из условия $\frac{HB}{8\sqrt{2} - HB} = \frac{3}{4}$ получаем:
$$HB = \frac{24\sqrt{2}}{7}$$

Проверим соотношение:
$$\frac{HB}{OB} = \frac{24\sqrt{2}/7}{4\sqrt{2}} = \frac{24}{28} = \frac{6}{7}$$

Так как $KB = SB - SK = 7 - 1 = 6$, имеем:
$$\frac{KB}{SB} = \frac{6}{7}$$

Из равенства $\frac{KB}{SB} = \frac{HB}{OB}$ и общего угла $\angle SBO$ следует подобие треугольников $KHB$ и $SOB$. Поэтому $KH \parallel SO$.

Поскольку $SO \perp (ABC)$, получаем $KH \perp (ABC)$. Прямая $KH$ лежит в плоскости $CKM$ и перпендикулярна плоскости $ABC$, следовательно, $(CKM) \perp (ABC)$. ✓

**б) Вычисление объёма пирамиды $BCKM$**

Из подобия треугольников $KHB$ и $SOB$ с коэффициентом $\frac{6}{7}$:
$$KH = \frac{6}{7} \cdot SO = \frac{6\sqrt{17}}{7}$$

Высота пирамиды $BCKM$ равна $KH$ (так как $KH \perp (ABC)$).

Площадь основания $MBC$:
$$S_{MBC} = \frac{MB \cdot BC}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$$

Объём пирамиды:
$$V_{BCKM} = \frac{1}{3} \cdot KH \cdot S_{MBC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6\sqrt{17}}{7} \cdot 24 = \frac{48\sqrt{17}}{7}$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике