Question

Найдите наименьшее значение функции $y = 10\cos x + \frac{36x}{\pi} - 6$ на отрезке $\left[-\frac{2\pi}{3}; 0\right]$.

Accepted Answer

-35

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, установить монотонность функции и вычислить её значение на границе интервала.

Вычислим производную:

$$y' = -10\sin x + \frac{36}{\pi}$$

Приравняем производную к нулю:

$$-10\sin x + \frac{36}{\pi} = 0$$

$$\sin x = \frac{3{,}6}{\pi}$$

Поскольку $\frac{3{,}6}{\pi} \approx 1{,}15 > 1$, а область значений синуса — отрезок $[-1; 1]$, уравнение не имеет решений.

Так как $\frac{36}{\pi} > 10$ (так как $36 > 10\pi \approx 31{,}4$), производная $y' = -10\sin x + \frac{36}{\pi}$ всегда положительна на любом интервале. Следовательно, функция строго возрастает на $\left[-\frac{2\pi}{3}; 0\right]$.

Минимум возрастающей функции на замкнутом отрезке достигается в левой граничной точке:

$$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 10\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{36 \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right)}{\pi} - 6$$

$$= 10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 24 - 6$$

$$= -5 - 24 - 6 = -35$$

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике