Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{\left( y^{2}-xy+5x-4y-5 ight)\sqrt{x+3}}{\sqrt{7-x}}=0 \ x+y-a=0 \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить числитель первого уравнения на множители, найти геометрическое место точек, удовлетворяющих первому уравнению, и определить, при каких значениях параметра прямая $y = a - x$ пересекает это множество ровно в двух точках.

Рассмотрим первое уравнение. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и ненулевой. Это даёт нам условия:

$$y^{2}-xy+5x-4y-5=0, \quad x+3 \geq 0, \quad 7-x > 0$$

То есть $-3 \leq x < 7$.

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$$y^{2}-y(x+4)+5x-5=0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (x+4)^{2}-4(5x-5) = x^{2}+8x+16-20x+20 = x^{2}-12x+36 = (x-6)^{2}$$

Корни:

$$y = \frac{(x+4) \pm |x-6|}{2}$$

При $x \geq 6$: $y_{1} = \frac{(x+4)+(x-6)}{2} = x-1$, $y_{2} = \frac{(x+4)-(x-6)}{2} = 5$.

При $x < 6$: $y_{1} = \frac{(x+4)-(x-6)}{2} = 5$, $y_{2} = \frac{(x+4)+(x-6)}{2} = x-1$.

Таким образом, множество решений первого уравнения состоит из двух кривых:
- прямая $y = x-1$ при $-3 \leq x < 7$;
- горизонтальная прямая $y = 5$ при $-3 \leq x < 7$.

Второе уравнение системы — это прямая $y = a - x$, или $x + y = a$.

На графике видно, что система имеет ровно два решения, когда прямая $x + y = a$ занимает одно из следующих положений:

**Положение 1:** Прямая проходит через точку $(-4, -3)$ (пересечение $y = x-1$ с вертикальной асимптотой $x = -3$, но с учётом граничной точки).

$$a = -4 + (-3) = -7$$

**Положение 2:** Прямая проходит через точку $(-3, 5)$ (левый конец горизонтального отрезка).

$$a = -3 + 5 = 2$$

**Положение 3:** Прямая проходит через точку $(6, 5)$ (пересечение двух кривых).

$$a = 6 + 5 = 11$$

**Положение 4:** Прямая проходит через точку $(7, 5)$ (правый конец горизонтального отрезка при $x 	o 7^{-}$).

$$a = 7 + 5 = 12$$

**Положение 5:** Прямая проходит через точку $(7, 6)$ (правый конец кривой $y = x-1$ при $x 	o 7^{-}$).

$$a = 7 + 6 = 13$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике