Question

Решите неравенство:

$$\log_{100}\left((x-2)(x^2+5x-14)\right)+1\geq 0{,}5\lg(x-2)^2$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить подлогарифмическое выражение, привести к единому основанию логарифма и решить полученное алгебраическое неравенство с учётом области определения.

Сначала найдём область определения. Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2+5x-14 = (x-2)(x+7)$$

Условия существования логарифмов:

$$(x-2)(x-2)(x+7) > 0 \quad 	ext{и} \quad (x-2)^2 > 0$$

Это даёт $(x-2)^2(x+7) > 0$ и $x 
eq 2$, откуда $x \in (-7; 2) \cup (2; +\infty)$.

Перепишем исходное неравенство, используя $0{,}5\lg(x-2)^2 = \lg\sqrt{(x-2)^2} = \lg|x-2|$. Заметим, что на области определения $|x-2| = |x-2|$, и преобразуем через логарифм по основанию 100:

$$\log_{100}(x-2)^2(x+7) + \log_{100}100 \geq \log_{100}(x-2)^2$$

$$\log_{100}\left((x-2)^2(x+7)ight) + 1 \geq \log_{100}(x-2)^2$$

$$\log_{100}\left((x-2)^2(x+7) \cdot 100ight) \geq \log_{100}(x-2)^2$$

Так как логарифм по основанию 100 > 1 — возрастающая функция:

$$(x-2)^2(x+7) \cdot 100 \geq (x-2)^2$$

Разделим обе части на $(x-2)^2 > 0$:

$$100(x+7) \geq 1$$

$$100x + 700 \geq 1$$

$$100x \geq -699$$

$$x \geq -\frac{699}{100}$$

Пересечём с областью определения $(-7; 2) \cup (2; +\infty)$:

$$x \in \left[-\frac{699}{100}; 2ight) \cup (2; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике