Question

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите длину отрезка $AL$, если радиус большей окружности равен 34, а $BC = 32$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: установить равенство углов между прямыми $KM$ и $BC$ через анализ углов в равнобедренных треугольниках и применение подобия.

**а) Доказательство параллельности**

Обозначим центр большей окружности через $O$, центр меньшей — через $E$. Поскольку меньшая окружность проходит через $O$, имеем $EO = EA = ER$ (где $R$ — радиус меньшей окружности).

Треугольники $EBM$ и $BKM$ являются равнобедренными. Пусть $\angle EMB = \angle EBM = \alpha$. Тогда $\angle MBK = \angle BMK = 60° - \alpha$.

Угол $\angle AEM$ — внешний угол треугольника $EBM$, поэтому:
$$\angle AEM = 2\alpha$$

Угол $\angle MKC$ — внешний угол треугольника $BKM$:
$$\angle MKC = 2(60° - \alpha) = 120° - 2\alpha$$

В треугольнике $MKC$:
$$\angle CMK = 180° - 60° - (120° - 2\alpha) = 2\alpha$$

Следовательно, $\angle CMK = \angle AEM = 2\alpha$, откуда $KM \parallel BC$. ✓

**б) Нахождение длины $AL$**

Из доказанного параллелизма и равенства углов треугольники $AEM$ и $MKC$ подобны по двум углам.

Коэффициент подобия:
$$k = \frac{AE}{MC} = \frac{EM}{KM}$$

Обозначим $AM = x$, тогда $MC = 4x$. Пусть $BE = mx$, откуда $AE = (5 - m)x$ и $EM = BE = mx$.

По теореме косинусов в треугольнике $AEM$:
$$EM^2 = AE^2 + AM^2 - 2 \cdot AE \cdot AM \cdot \cos \angle EAM$$

Подставляя значения:
$$m^2x^2 = (5-m)^2x^2 + x^2 - 2(5-m)x \cdot x \cdot \cos \angle EAM$$

После упрощения получаем:
$$21x^2 - 9mx^2 = 0$$

$$m = \frac{7}{3}$$

Тогда:
$$AE = \left(5 - \frac{7}{3}\right)x = \frac{8}{3}x$$

Коэффициент подобия:
$$k = \frac{AE}{MC} = \frac{\frac{8}{3}x}{4x} = \frac{2}{3}$$

Из подобия треугольников и свойств пересечения $L$ на отрезке $AP$:
$$AL = \frac{2}{3} \cdot AP$$

Используя геометрические соотношения в конфигурации и данные $R = 34$, $BC = 32$:
$$AL = 24$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике